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Typ-III-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren betrachtete Algebren. Es handelt sich um den dritten von drei Typen der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren. Diese lassen sich nach einem Satz von M. Takesaki aus Typ-II-Von-Neumann-Algebren konstruieren.

• Definitionen

• Beispiele

• Satz von Takesaki

• Connes-Klassifikation von Typ-III-Faktoren

• Siehe auch

• Einzelnachweise

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra A {\displaystyle A} ist ein selbstadjungiertes idempotentes Element e {\displaystyle e} , das heißt, es gilt e = e ∗ ∗ = e 2 {\displaystyle e=e^{*}=e^{2}} . Eine solche Projektion heißt endlich, falls aus e = v ∗ ∗ v {\displaystyle e=v^{*}v} und v v ∗ ∗ ≤ ≤ e {\displaystyle vv^{*}\leq e} stets v v ∗ ∗ = e {\displaystyle vv^{*}=e} folgt. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ III, falls sie keine von 0 verschiedenen endlichen Projektionen besitzt.cite-ref-1[1]

Im Artikel zu den W*-dynamischen Systemen ist eine Konstruktion beschrieben, die zu Typ III Von-Neumann-Algebren führt. Die unten beschriebene Connes-Klassifikation der Typ III Faktoren liefert weitere Beispiele.

Der Satz von Takesaki führt die Typ-III-Von-Neumann-Algebren auf Typ-II∞-Algebren zurück:

Zu jeder Typ-III-Von-Neumann-Algebra A {\displaystyle A} gibt es W*-dynamisches System ( A 1 , R , α α ) {\displaystyle (A_{1},\mathbb {R} ,\alpha )} , wobei A 1 {\displaystyle A_{1}} eine Typ-II∞-Algebra ist, so dass A ≅ ≅ A 1 ⋉ ⋉ α α R {\displaystyle A\cong A_{1}\ltimes _{\alpha }\mathbb {R} } .cite-ref-2[2]

Dazu verwendet man das W*-dynamische System ( A , R , σ σ ) {\displaystyle (A,\mathbb {R} ,\sigma )} , das sich aus der Tomita-Takesaki-Theorie ergibt, und bildet die Typ-II∞-Algebra A 1 := A ⋉ ⋉ σ σ R {\displaystyle A_{1}:=A\ltimes _{\sigma }\mathbb {R} } . Mit dem dualen W*-dynamischen System ( A 1 , R , σ σ ^ ^ ) {\displaystyle (A_{1},\mathbb {R} ,{\hat {\sigma }})} folgt dann

A 1 ⋉ ⋉ σ σ ^ ^ R = ( A ⋉ ⋉ σ σ R ) ⋉ ⋉ σ σ ^ ^ R ≅ ≅ A ⊗ ⊗ L ( L 2 ( R ) ) {\displaystyle A_{1}\ltimes _{\hat {\sigma }}\mathbb {R} =(A\ltimes _{\sigma }\mathbb {R} )\ltimes _{\hat {\sigma }}\mathbb {R} \cong A\otimes L(L^{2}(\mathbb {R} ))} wegen Dualität ≅ ≅ A {\displaystyle \cong A} , da A {\displaystyle A} eine Typ-III-Von-Neumann-Algebra ist.cite-ref-3[3]

Zu einem Typ-III-Faktor, das heißt zu einer Typ-III-Von-Neumann-Algebra mit Zentrum C ⋅ ⋅ 1 {\displaystyle \mathbb {C} \cdot 1} , konstruieren wir eine isomorphieinvariante Zahl λ λ ∈ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \lambda \in [0,1]} , die dann zum Begriff des Typ-IIIλ-Faktors führt.

Sei φ φ {\displaystyle \varphi } ein normaler Zustand auf der Von-Neumann-Algebra A {\displaystyle A} . Dann gibt es eine kleinste Projektion p ∈ ∈ A {\displaystyle p\in A} mit φ φ ( p ) = 1 {\displaystyle \varphi (p)=1} . Dann ist p A p {\displaystyle pAp} eine Von-Neumann-Algebra und die Einschränkung von φ φ {\displaystyle \varphi } ist ein treuer, normaler Zustand, auf den die Tomita-Takesaki-Theorie angewendet werden kann, das heißt, es gibt einen modularen Operator Δ Δ φ φ {\displaystyle \Delta _{\varphi }} . Da dieser ein positiver Operator ist, liegt dessen Spektrum σ σ ( Δ Δ φ φ ) {\displaystyle \sigma (\Delta _{\varphi })} in R 0 + {\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}} . Man definiert

S ( A ) := ⋂ ⋂ { σ σ ( Δ Δ φ φ ) ; φ φ normaler Zustand auf A } ⊂ ⊂ R 0 + {\displaystyle S(A):=\bigcap \{\sigma (\Delta _{\varphi });\,\varphi {\text{ normaler Zustand auf }}A\}\subset \mathbb {R} _{0}^{+}} .

Man kann zeigen, dass 0 genau dann in S ( A ) {\displaystyle S(A)} liegt, wenn A {\displaystyle A} vom Typ III ist, anderenfalls gilt S ( A ) = { 1 } {\displaystyle S(A)=\{1\}} .cite-ref-4[4] Für σ-endliche Faktoren liegt genau einer der folgenden drei Fälle vor:cite-ref-5[5]

• S ( A ) ∖ ∖ { 0 } = { 1 } {\displaystyle S(A)\setminus \{0\}=\{1\}}

• S ( A ) ∖ ∖ { 0 } = { λ λ n ; n ∈ ∈ Z } {\displaystyle S(A)\setminus \{0\}=\{\lambda ^{n};\,n\in \mathbb {Z} \}} für ein 0 < λ λ < 1 {\displaystyle 0<\lambda <1}

• S ( A ) ∖ ∖ { 0 } = R + {\displaystyle S(A)\setminus \{0\}=\mathbb {R} ^{+}}

Im ersten Fall nennt man A {\displaystyle A} einen Typ-III0-Faktor, im zweiten Fall einen Typ-IIIλ-Faktor und im dritten Fall einen Typ-III1-Faktor. Dies ist die Connes-Klassifikation der Typ-III-Faktoren.

Sind λ λ , μ μ ∈ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \lambda ,\mu \in [0,1]} verschieden, so ist ein Typ-IIIλ-Faktor nicht isomorph zu einem Typ-IIIµ-Faktor, denn die Menge S ( A ) {\displaystyle S(A)} ist eine Isomorphie-Invariante. Es gibt also ein Kontinuum von paarweise nicht isomorphen Typ-III-Faktoren.

Wir wollen kurz die Existenz der Typ-IIIλ-Faktoren besprechen. Dazu konstruieren wir einen Zustand φ φ μ μ {\displaystyle \varphi _{\mu }} auf der CAR-Algebra. Zu einem μ μ ∈ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \mu \in [0,1]} kann man rekursiv Zustände φ φ μ μ ( n ) : M 2 n → → C {\displaystyle \varphi _{\mu }^{(n)}:M_{2^{n}}\rightarrow \mathbb {C} } definieren, wobei

• φ φ μ μ ( 0 ) : M 2 0 ≅ ≅ C → → C {\displaystyle \varphi _{\mu }^{(0)}:M_{2^{0}}\cong \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } die identische Abbildung sei und

• φ φ μ μ ( n ) ( x ) = μ μ φ φ μ μ ( n − − 1 ) ( x 1 , 1 ) + ( 1 − − μ μ ) φ φ μ μ ( n − − 1 ) ( x 2 , 2 ) {\displaystyle \varphi _{\mu }^{(n)}(x)=\mu \varphi _{\mu }^{(n-1)}(x_{1,1})+(1-\mu )\varphi _{\mu }^{(n-1)}(x_{2,2})} für jedes n > 0 {\displaystyle n>0} , wobei x = ( x i , j ) {\displaystyle x=(x_{i,j})} als 2 × × 2 {\displaystyle 2\times 2} -Matrix mit Elementen aus M 2 n − − 1 {\displaystyle M_{2^{n-1}}} geschrieben ist.

Dann ist die Einschränkung von φ φ μ μ ( n ) {\displaystyle \varphi _{\mu }^{(n)}} auf M 2 n − − 1 {\displaystyle M_{2^{n-1}}} gleich φ φ μ μ ( n − − 1 ) {\displaystyle \varphi _{\mu }^{(n-1)}} , denn gemäß der Einbettung

M 2 n − − 1 ∋ ∋ x ↦ ↦ ( x 0 0 x ) ∈ ∈ M 2 n {\displaystyle M_{2^{n-1}}\ni x\mapsto {\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}}\in M_{2^{n}}}

ist

( φ φ μ μ ( n ) | M 2 n − − 1 ) ( x ) = φ φ μ μ ( n ) ( ( x 0 0 x ) ) = μ μ φ φ μ μ ( n − − 1 ) ( x ) + ( 1 − − μ μ ) φ φ μ μ ( n − − 1 ) ( x ) = φ φ μ μ ( n − − 1 ) ( x ) {\displaystyle (\varphi _{\mu }^{(n)}|_{M_{2^{n-1}}})(x)=\varphi _{\mu }^{(n)}({\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}})=\mu \varphi _{\mu }^{(n-1)}(x)+(1-\mu )\varphi _{\mu }^{(n-1)}(x)=\varphi _{\mu }^{(n-1)}(x)} .

Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand φ φ μ μ {\displaystyle \varphi _{\mu }} , der auf allen M 2 n {\displaystyle M_{2^{n}}} mit φ φ μ μ ( n ) {\displaystyle \varphi _{\mu }^{(n)}} übereinstimmt. Zum Zustand φ φ μ μ {\displaystyle \varphi _{\mu }} gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung π π μ μ : A → → L ( H μ μ ) {\displaystyle \pi _{\mu }:A\rightarrow L(H_{\mu })} auf einem Hilbertraum H μ μ {\displaystyle H_{\mu }} . Für 0 < μ μ < 1 2 {\displaystyle 0<\mu <{\frac {1}{2}}} ist das Bild π π μ μ ( A ) ⊂ ⊂ L ( H μ μ ) {\displaystyle \pi _{\mu }(A)\subset L(H_{\mu })} eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ IIIλ ist, wobei λ λ = μ μ 1 − − μ μ {\displaystyle \textstyle \lambda ={\frac {\mu }{1-\mu }}} .cite-ref-6[6]

• Typ-I-Von-Neumann-Algebra

• Typ-II-Von-Neumann-Algebra

cite-note-11. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Definition 6.5.1

cite-note-22. ↑ A van Daele: Continuous crossed products and type III von Neumann algebras, Cambridge University Press (1978), ISBN 0-521-21975-2, Theorem II.4.8

cite-note-33. ↑ A van Daele: Continuous crossed products and type III von Neumann algebras, Cambridge University Press (1978), ISBN 0-521-21975-2, Anhang C

cite-note-44. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 8.15.5

cite-note-55. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 8.15.7 + 8.15.11

cite-note-66. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 8.15.13